Probabilité de réussir trois passes consécutives

Quelle est la probabilité qu'une équipe E80 réussisse trois passes consécutives? En supposant que chaque passe constitue un événement indépendant, on peut calculer cette probabilité de la même façon qu'on la calcule pour les dés, c'est-à-dire en faisant le produit des probabilités de chaque événement. La probabilité d'obtenir deux 6 en lançant deux dés est : \[ \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}. \] De la même façon, la probabilité qu'une équipe E80 réussisse trois passes consécutives est \[ 0.80 \times 0.80 \times 0.80 = 0.512. \]

Ainsi, une équipe E80 a seulement une chance sur deux (51.2%) de réussir trois passes consécutives. On peut penser qu'une équipe E80 est une équipe faible, mais pas forcément car cela peut aussi dépendre des conditions météorologiques. Dans un match récent entre Goat et Doublewide ayant eu lieu aux championnats américains de USA Ultimate où le vent dépassaient les 30 km/h, l'équipe Goat de Toronto a réussi 105 de ses 133 passes tentées (selon ce texte sur ultiworld.com) pour un taux de réussite de 78.9%.

Et pour une équipe E90 maintenant? Si le taux de réussite d'une passe augmente à 90%, alors la probabilité de réussir trois passes consécutives devient 70% environ : \[ 0.90 \times 0.90 \times 0.90 = 0.729. \]

Calculer le nombre de passes q'une équipe peut se permettre grâce au logarithme

Combien de passes est-ce qu'une équipe E90 peut faire avant de perdre le disque une fois sur deux? Calculons. \[ 0.90 \times 0.90 \times 0.90 \times 0.90 = 0.656, \] \[ (0.90)^5 = 0.590, \] \[ (0.90)^6 = 0.531, \] \[ (0.90)^7 = 0.478. \] Donc, entre la 6ème et la 7ème passe, ou du moins à partir de la 7ème, la probabilité qu'une équipe E90 soit encore en possession du disque est moins d'une chance sur deux. Cet exposant peut être calculé plus efficacement grâce aux logarithmes. En effet l'exposant que l'on doit mettre à la base 0.90 pour que la puissance égale 0.5 est donné par le logarithme de 0.50 en base 0.90: \[ (0.90)^x = 0.50 \quad\iff\quad x = \log_{0.90} 0.50 = 6.579, \] donc la puissance vaut bel et bien 0.5 entre la 6ème et la 7ème puissance entière comme on avait évalué. Si votre calculatrice ne permet pas de calculer le logarithme dans la base de votre choix, vous pouvez utiliser la formule de changement de base: \[ x = \log_{0.90} 0.50 = \frac{\log_b 0.50}{\log_b 0.90} = 6.579, \] où \(b\) est une base quelconque.

Demie-vie de possession

Ainsi, au delà de 6 passes, il y a plus d'une chance sur deux qu'une équipe E90 ait perdu la possession du disque. Inspiré par la chimie et la physique qui définit la demi-vie d'un élément radioactif comme étant la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs se soient désintégrés, nous définissons la demi-vie de possession d'une équipe d'ultimate comme étant le nombre de passes avant que la probabilité d'être encore en possession du disque soit inférieure à une chance sur deux. En général, la demie-vie de possession peut être exprimée sous la forme: \[ \text{demie-vie de possession } = \frac{-\log 2}{\log q} \] où \(q\) est la probabilité de réussir une passe. On remarque que la demi-vie de possession correspond en fait à la médiane d'une loi géométrique.

On a déjà calculé que la demi-vie de possession d'une équipe E80 est 3 passes et que la demi-vie de possession d'une équipe E90 est 6 passes. Calculons maintenant la demi-vie de possession d'une équipe E95: \[ \frac{-\log 2}{\log 0.95} = 13.51, \] que l'on arrondit à l'entier inférieur, donc 13 passes. La demi-vie de possession augmente à 22 passes pour une équipe E97 et à 68 passes pour une équipe E99. Les valeurs de demi-vie de possession sont indiquées dans la première colonne du Tableau ci-bas, chaque ligne correspondant à une équipe dont l'efficacité par 100 passes est fixé.

Tableau : la demi-vie de possession est dans la colonne 0.50

Les autres colonnes indiquent des durées de possessions plus courtes. En effet, une équipe élite E99 réussissant 99% de ses passes sera plus exigeante et voudra marquer plus d'une fois sur deux. Ainsi, elle tentera de marquer en moins de passes que sa demi-vie de possession. Par exemple, une équipe E99 se limitera à 10 passes si elle veut marquer le point avec une probabilité de 90% et à 22 passes si elle veut marquer à 80%.

Conséquences sur les stratégies

Cela indique qu'une équipe doit posséder des stratégies indiquant comment marquer en une dizaine de passes tout au plus. Si la montée de terrain demande de faire 2, 3 ou 4 passes latérales, il en reste juste 6 pour avancer. D'où l'importance d'avoir des stratégies simples qui permettent de sortir de la ligne en pas plus que 2 ou 3 passes suivies d'au moins deux ou trois passes de continuité. Une équipe qui nécessite plus de 4 passes pour sortir des situations difficiles est vouée à l'échec.

Approfondir le raisonnement pour mieux connaître votre équipe

Pour mettre à l'épreuve les théories présentées dans ce texte et aussi afin de mieux connaître votre équipe, il faut d'abord évaluer le taux de passes réussies par votre ou par une équipe si possible dans un match représentatif joué contre une équipe de son niveau. Quel pourcentage de passes obtenez-vous? Une équipe E85, E94 ou E97 ? À partir du pourcentage obtenu et des formules ci-haut, calculez votre demi-vie de possession. Ensuite, il serait intéressant de considérer la statistique de match suivante, i.e. pour chaque possession du disque, calculer le nombre de passes effectuées. Enuite, vous pouvez tenter de répondre aux questions suivantes sur cette statistique:

• Quelle est la distribution?
• Quelle est la moyenne?
• Quelle est la valeur maximale? minimale? l'écart type? etc.
• Et surtout, où se situe la demi-vie de possession parmi la distribution?
• Est-ce que la moyenne du nombre de passes est plus grande, égale ou plus petite que la demi-vie de possession?
• Séparer la distribution en deux groupes (deux couleurs) selon que la possession s'est terminée par un point marqué et par un revirement. Comment se comparent les deux distributions?
• Est-ce que cela donne une indication sur les stratégies à utiliser? à ne pas utiliser?

Si vous faites l'exercice sur votre équipe ou encore sur un match d'ultimate diffusé sur internet, n'hésitez pas à rendre compte de vos conclusions dans la section commentaires, car plusieurs questions restent sans réponses dont les suivantes :

• Quel type d'équipe est Odyssée de Montréal?
• Quel type d'équipe est Boston Ironside?
• Atteignent-t-ils plus ou moins que E99?
• Existe-il en pratique une équipe réussissant 999 passes sur 1000?
• Dans quel intervalle se situent les équipes élites?

Exemple sur la finale des CUC 2012 opposant Odyssée et Union

La finale de la division mixte des Championnats canadiens 2012 opposant Odyssée de Montréal et Union de Toronto est sur internet:

CUC 2012 - Mixed Final - Odyssee vs Union

Dans ce match, on obtient les statistiques suivantes (tableau ci-bas).

Statistiques

On remarque que la durée des possessions d'Odyssée durait en moyenne 7.33 passes et que celles d'Union étaient de 6.00 passes. Or la demi-vie de possession d'Odyssée était de 11.09 passes de sorte que 88.9% de leurs possessions étaient plus courtes que leur demi-vie. Tandis que pour Union, la demi-vie de possession était seulement de 6.41 passes de sorte que seulement 57.% de leurs possessions étaient plus courtes que leur demi-vie.

Données brutes

Voici les données brutes dont je me suis servi, c'est-à-dire la durée de chaque possession en nombre de passes consécutives. Je les ai séparées en deux selon que l'équipe marquait le point ou perdait le disque. Dans le cas d'une possession qui se termine par un revirement, la dernière passe manquée est comptée.